파푸스 회전체 부피[축이 직선일 때]

영역을 회전시켜서 얻어낸 입체의 부피를

물어보는데, 폐영역이라면 우리는 

파푸스 공식을 이용해서 간단하게 찾아낼 수 있다!

 

이 방법을 통해서 값을 얻어낼 때,

우리는 회전축과 영역의 중심!(무게중심) 사이의

거리를 알아야해서

영역의 중심이 똭 보일 때, 주로 사용하곤 한다!

 

만약에 영역의 중심을 

눈으로 알아낼 수 없다면 어떻게 풀어야할까.... 또륵

 

영역이 원이 아니어도 

파푸스를 이용해서 문제를 풀 수 있지만

과정을 가장 편안하게 확인할 수 있는

원을 선택!

 

이 원을 x축으로 회전시켰을 때,

얻어지는 입체의 부피는 어떻게 구할 수 있을까?

 

x축으로 회전시켰을 때,

얻어지는 입체가 도넛형태라는건

직관적으로 알 수 있다!

 

이 때, 도넛 한 쪽을 잘라서 쭉 펴보자.

그렇게 되면

도넛의 안 쪽에 있는 부분이

도넛의 바깥 쪽에 있는 부분보다

길이가 짧아지는게 정상이지만

우리는 부족한 부분을 짤라다가

맞춰줬다고 해주자~

 

이렇게 원기둥으로 그려두었을 때,

원기둥의 높이가 되는 빨간 선은

도넛에서 안 vs 바깥이 아닌

둘의 길이를 절충할 수 있는 중간으로!

 

이 중간! 빨간 원이 나타내는게

영역을 회전축에 대해서 회전시켰을 때,

중심이 회전되는 부분!!

 

왜 영역의 중심이 필요한지 살펴보았고

 

원기둥의 도면을 살펴보면 

겉넓이도 가로x세로 해주면 끝!

 

시작이 도넛이었잖아요?

도넛을 내맘대로 잘라서 펼친거니

원기둥의 윗면, 밑면은 없는 상태라서

그냥 옆면의 넓이만 잘 구해주면

겉넓이는 끝난다~

 

y축으로 회전했더라면 어땠을까~

한 번 우리가 간단하게 x축 회전을 통해서

얻어낸 공식으로 유도해줄 수 있구요

 

이제 이상한 기출문제를 봅시다.

 

22년도 건대에서 출제된 문제

30분 시험인데 너무했다!

 

일단 영역이 폐곡선인건 잘 알겠고

회전축도 y=x인걸 알겠는데,

 

우리는 주어진 영역의 무게중심!

영역을 대표해줄 중심을 모르기 때문에

이중적분에서 배웠던 

무게중심 개념을 가져와서 x, y를 찾아주자!

 

그래도 다행인 점은

분모는 하나만 잘 찾아줘도 되고

적분 구간이 0부터 1인 것도 감사한데

다항식 적분이라서 어렵지 않게 찾아줄 수 있다!

 

건대에서 출제된 것만 아니었다면

기쁜 마음으로 풀었을수도?

 

그러면 이제 찾아준 무게중심과 

회전축 y=x 사이의 거리 d를 찾아주고

앞에서 유도해낸 파푸스 공식을 이용해서

계산해주면 끝!

 

이 문제는 적분 범위+함수가 괜찮았는데,

 

24년도 가천대에서 출제된 문제는...

그런 장점을 다 없애고 출제되었슴다...또륵

 

한 번씩 손대보는걸로!

실제 시험이었으면

이중적분 과정을 대강 살펴봤을 때

엄청 복잡하지 않으면 손대고

너무 더러울거 같으면 가장 나중에 푸는게

하나의 방법이겠죠?