극한[변수의 변수승, 정적분과 무한급수]

보통 극한 문제는 

사뿐하게 풀 수 있는 유형이 많지만

 

더럽게 주면 어떤 식으로까지 줄 수 있을까???

 

오늘은 그 예시로 한 문제를 풀어보자.

이런 문제를 만나면

음... 일단 저 제곱근 안에 있는 놈들은 나중에 생각하고

분자에 있는 1/n승을 잘 살펴보자.

 

분자에는 1/n승... 분모는 1승...

 

분모에 있는 짜식을

이렇게 모양을 바꿔주면

분모, 분자 둘 다 1/n승??!!!

 

둘 다 1/n승 이면 굳이?

분자, 분모 따로 하지말고 전체의 1/n승으로

조금 더 깔끔하게 모양을 바꿀 수 있겠다!

(그거 해도 썩 막 이쁘진 않지만... 저거보다는)

 

 

이렇게 정리해두고 ①에서 말했던

n의 n승이 n개 임을 알고 봤더니

분자에 있는 저 괄호들도 n개다!!

(일부러 마지막 끝쪽 놈들을 계산을 해버려서 갯수 세기 힘들게 준 척 하는중)

 

그러면 분자, 분모에 어떤 놈들이 n개씩 있으면

우리는 분모에 있는 n을

분자 괄호에 하나씩 분배해주자!

(사이좋게 하나씩 가져가)

 

이제 진짜 좀 보기 좋아졌다!

여기서 우리는 극한문젠데 변수의 변수승이네?

변수의 변수승 극한은 어떻게 풀기로 했더라?

 

x=e^(lnx)랑 같다!

 

빨간색 개념을 이용해서

덩어리들이 크지만

일단은 전체 다 끌고 가서 식을 정리해주자

 

그러면 이제 변수의 변수승 극한 풀 때처럼

e 너는 가만히 있고 리미트랑 지수자리만 가져가서

해결하고 다시 돌아와서 값을 지수자리에 넣어주자!

(값을 바로 답으로 찍으면!!! 주의)

 

ln이 등장해서

아까부터 보기 싫었던 저 많은 곱하기들을

더하기로 찢어버릴 수 있다!!!

 

ln의 장점?

함수들이 다 곱하고 나누고 덩어리들이 디따 클 때

ln을 떠올리자!(대부분 그런 더러운 놈을 미분하라는 문제에서)

 

저 많은 더하기를 시그마 하나로 표현하다니

리미트랑 시그마가 같이 있네?

 

리미트+시그마=인테그랄

정적분과 무한급수를 이용해서 적분으로 바꿔주자

 

그러면 이제 적분만 빨리하면 문제는 해결

 

lnx 적분은 우리가 기본적으로 외웠는데

 

ln(1+x) 적분은 안 외웠으니까 치환해서 풀어야지!

- 이게 틀린건 아니지만

   합성함수 형태이고 x+1은 미분해봤자 1이라는 점을 이용해서

   아 그냥 내가 외운 적분 수식에다가 저 다항식 1+x만 넣어주면 되겠다 이렇게 생각하기!!!

 

그러면 끝. 이제 답을 고르면 ㅡ.ㅡ

변수의 변수승 극한은 지수자리 잘 계산해서

다시 지수자리에 넣어주기

 

정적분과 무한급수 복습도 하고

극한 문제도 한 번 풀어보고!!

 

자주는 아니지만 꾸준히 나오는 유형이라

이번 한 번 잘 봐두고

다음에는 더 빨리 계산하기!

 

그냥 저 지수자리만 가지고

정적분과 무한급수 문제도 나올 수 있으니까!

 

23년도 가천대

출제된 문제로 루틴에 익숙해지고

우리 적분은 더 빨리 계산할 수 있게 노력하자