2024 건국대학교 편입수학 20번

올해 건대 시험에서 어려웠던 문제를 한 번 풀어보자~

 

면적분 문제인건 알 수 있고,

구 중에서 주어진 평면 위에 곡면을 가지고 면적분을 해야하는데

 

우리가 면적분할 때 생각해야할건 곡면의 법선벡터를 구할 생각을

해야한다! 근데 주어진 영역을 한 번 그려보면

 

빨간영역 위의 부분을 대표하는 법선벡터를 식으로 내가 잡기 힘들다.

 

직교좌표 가지고 그라디언트를 이용하려고 하니

빨간 원이 직교좌표로 표현했을 때 +-부분을 모두

포함하고 있어 쉽지 않고

 

구면좌표 가지고 벡터 외적을 통해서 

구하려고 하니

파이와 세타의 범위가 잡히지 않는다.

 

그러니 지금 비어있는 밑바닥 x+y+z=1을 이용해서

바닥을 막아준 후에 발산정리를 이용하고

밑바닥에 대한 면적분을 계산해서 빼주자.

 

S1을 추가하고 발산정리를 이용하니

이쁘게 0이 나왔고

그러면 이제 영역 R의 넓이만 구하면

사실 문제는 다 푼건데

이 영역 R이 답이 없다~

 

xy-평면에서 어떻게 생겼을지 z를 없애서 살펴보면 

이렇구나 할 순 있는데.

주어진 식을 보고 넓이를 구할 수 없어

이차형식을 떠올리고 

우리가 넓이를 구할 수 있는 형태로 변형시키자!

 

이차형식을 행렬로 잘 표현했으면

고유치, 고유벡터를 빠르게 구해주기!

 

그러고 위에서 파란 식에 대입을 해서 정리해주면

 

대입 후에 식을 조금 정리만 해주면

우리가 넓이를 구할 수 있는 타원의 방정식이 나온다!