고유치, 고유벡터의 성질

문제를 통해서 고유치, 고유벡터 성질을 한 번 복습하자.

 

대각화를 직접 다 해야하는 유형은

계산이 초큼 더러운 문제가 맞지만

생각보다 성질을 이용해서 호다닥 해결가능한

문제들도 많이 있다!!!

 

오늘은 눈으로 풀 수 있는 문제에 대해!

 

일단 문제를 풀기 전에

문제에 주어진 조건을 보고

행렬 A의 고유치는 1, 2, 3이고

각각의 고유벡터는 u, v, w이구나~

 

이건 빠르게 캐치하기!!!

 

이제 하나씩 뜯어보자.

 

대각합=고유치의 합과 같다!!!

 



대각합이 나온김에!

이 놈의 성질을 이용해서 tr(ABC)=tr(CAB)

세 개의 행렬이 곱해진 상태에서

두 덩어리를 자리 바꾸는건 괜춘!

세 개 막 바꾸면 안됨!!!

 

transpose의 행렬식은 원래 놈이랑 같고

행렬 A의 행렬식=고유치의 곱과 같다!!

 

행렬식이 0이 아니다?

- rank가 3이다

- rank가 3이다? 영공간의 차원이 0이다.

- 치역의 공간은 3이다

- 고유치에 0이 없다

- 가역=비특이=정칙=non-singular

- 대각화 가능? 항상 조심하기!!!

   이 문제에서는 대각화 가능하지만 그게 행렬식 때문이 아니다~

 

A의 고유치를 알면 

우리는 A의 역행렬 뿐만 아니라 A와 관련된

다양한 놈들의 고유치를 바로 알 수 있다.

 

이 개념은 그냥 이런 문제를 떠나서

성분이 분수인 행렬을 대각화할 때

유용하게 쓰이니까! 자세히 봐두기

 

연립방정식의 해가 좀 복잡하면

행렬식을 떠올리고 연결시키자!

 

고유치에서 행렬식으로

행렬식에서 연립방정식의 해로

 

행렬식이 0이 아니면 유일한 해를 갖지만

행렬식이 0이라고 해를 갖지 않는건 아니다!

무수히 많은 경우에도 행렬식은 0!!!