소금물 문제유형[일계선형미분방정식]

뉴턴의 냉각법칙이랑

손잡고 자주 나오는 소금물 문제!

 

어렸을 땐 엄청 어려워했던거 같은데

일계선형을 이용하면 그렇지 않다~

대표적인 유형 세가지를 풀어보자!

 

1. 기본유형

2. 물탱크가 2개!

3. 물의 양이 증가할 때,

 

1번이 제일 많이 나오긴 하는데,

보는김에 2-3번도 한 번 봐두면 

갑자기 나왔을 때, 당황하지 않고 풀 수 있다~

 

소금물 유형에서 핵심을 y(t)는 소금의 양이다!

그러면 y'은 소금의 변화량!!

 

소금의 흐름을 쫓아가자!

 

이 문제에서 10L가 나갔는데 다시 5L를 넣어주는

이상한 짓을 하고 있는데, 

결국엔 5L가 나가고 있다는거!!

 

5L가 들어오는데 리터당 0.1kg이니까

소금은 0.5kg이 들어오고 있음을 알 수 있다!

 

처음 공부할 때는 그림 좀 그리면서!

그림 그리면서 하면 재밌으니까

 

이 첫 줄만 잘 기억하자!

'들어오는 소금 양 - 나가는 소금 양'

여기에 자리에 맞게 수식만 넣어주면 바로 일계선형!

 

물론 변수분리형으로 풀 수 있습니다!

2개가 다 가능한 미방에서는 

일계선형이 더 쉽다고 생각해서

일계선형을 좋아하는데, 지수 자리 적분 때문에

거부감을 좀 가지는게 아닐까~

 

사실 이 문제는 

A에서 B로도 소금물이 가지만

B에서 A로도 소금물이 가면서

연립미분방정식 유형이 되는게 대표적인데,

오늘은 간단하게 연립미방을 몰라도 풀 수 있는 형태로 가져옴!!

 

탱크 A에는 물이 들어오고 있으니

들어오는 소금은 없고!

B는 애초에 A에서 가고 있으니까

소금이 가고 있다!

이거에 맞춰서 식을 세워서 풀면

 

x'에 대해 식은 바로 일계선형을 이용해서 답을 얻어내고

내가 얻어낸 x(t)를 y'이 있는 식에 넣어주면

y'에 대해 식도 일계선형 미방이 되어버리니까 이대로 끝!

 

2개나 구해야해서 귀찮은거지

둘 다 적분이 어려운것도 아니라서

사뿐하게 끝!

 

문제 자체는 식만 잡으면 되는거라

눈으로 4번을 찍을 수 있긴한데,

오늘은 y(t) 끝까지 구해보기!

 

들어오는건 3L인데 나가는건 2L라서

물탱크에 1L씩 계속 남게 된다!

 

우리가 나가는 소금의 양을 구할 때,

'소금의양/물의양'을 통해서 구했었는데

여기서 '물의 양' 자리가 100으로 고정된게 아니라

100+t로 시간당 1L씩 늘어나는 것만 주의!!!

 

일계선형에서 지수 자리에 ln이 등장하는게

그나마 앞 두 문제와 차이점인데

요정도는 눈으로 쓱싹 끝낼 수 있으니까!!

 

이정도 유형 내에서 나오는 

소금물 문제는 꼭 맞추자!

 

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