평행육면체 부피[스칼라 삼중곱]

a, b벡터로 이루어진

평행사변형의 넓이는 |axb|로 구할 수 있다!

 

오늘은 a, b, c 벡터로 이루어진

평행육면체의 부피를 구해보자.

 

결국 밑넓이x높이만 해주면 되니까

밑넓이는 내가 알고 있는 평행사변형

넓이 구하듯 사뿐하게 구해두고.

 

이제 높이만 찾으면 되겠네???

 

음.... 일단 모르겠다.

밑바닥에서 수직으로 올라오는 OAxOB벡터를

생각해보자.

 

한 번 파란벡터를 그려봤더니

OC벡터를 OAxOB벡터 위로 올린다면??

정사영시킨다면 높이값을 얻어낼 수 있겠다!!

 

여기서 우리가 조심해야할건

우리는 높이! 스칼라값을 알아내야하고

정사영 공식으로 얻어내는 값은 벡터라는거!

그러면 그 벡터의 크기를 구해줘야 높이!라고 할 수 있다.

 

문자가 따박따박 붙어있어서 복잡해보이는데

결국 정사영 공식에 있는 그대로 차근차근 넣어준 형태!

 

정사영 공식에서 벡터 부분은 

젤 뒤에있는 녀석뿐! 앞에 곱해진 형태는

내적/크기 이므로 스칼라 값이다!

그러면 그 둘은 그냥 꺼내두고

벡터만 벡터크기로 잘 꺼내주고

정리해주면!

 

|OC|cos세타

라는 이쁜 모양을 얻어냈다~

한결 가벼워진 느낌.

 

여기서 세타는 위 사진에서 초록색 부분!

즉, OAxOB와 OC의 사잇각이다~

 

이러면 이제 밑넓이, 높이값을 다 얻어냈으니

우리는 그 둘을 곱해주면 

평행육면체 부피 찾기 끝.

 

그래서 둘을 곱해봤더니

이거이거 내적의 정의 형태구나~

내적의 정의 형태인 이유가 또 둘의 크기x둘의 사잇각

세타가 사잇각이기 때문!

 

그러면 이제 평행육면체의 부피를

밑넓이, 높이 같은거 생각안 하고

외적 한 번 하고

딴 놈이랑 내적하자~

 

이런 세개의 벡터로 이루어져있다면?

 

외적해야하니까 미리 구해두고

 

내가 유도한 공식에 넣어주면

평행육면체의 부피가 등장했다~

 

어때요 여러분. 하기싫죠...

귀찮게 느껴져 이 자식

 

그 때, 옆에서 누가

야야 이거이거 어디서 봤어!!!

어디서?

 

행렬식에서~

똑같이 생겼죠 여러분?

그래서 이제 우리는

 

이렇게 호다닥 구할거에요!

 

이게 왜 좋냐~

우리는 행렬식 성질을 알기 때문에

행렬식을 하나하나 귀찮게 안 구하고

정리해가면서 빨리 구할거니까!

 

왜 스칼라 삼중곱이

평행육면체의 부피인지!

그걸 왜 행렬식으로 구하는지!

한 번 살펴봤다~

 

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