미분방정식[완전형]

f(x)=0을 만족하는 x를 해라고 하듯

 

공업수학에서는 미분방정식

F(x,y)=0을 대입하면 주어진 식이

성립하게 되는 해(함수)를 찾는다!

 

미분방정식이 어떻게 생겼냐에 따라서

공식 외워서 빠르게 해를 찾을 수 있는

기본 문제들부터

 

주어진 미방을 풀기 위해선

생각을 해줘야하는 어려운 문제까지!

 

아주 다양한데

오늘은 대표적인 형태 중 하나인

완전형 미분방정식을 살펴보자!

 

빨간 한 줄이 성립하는 순간

P(x,y)는 해를 x로 편미분, Q(x,y)는 해를 y로 편미분한

놈이된다!

그러면 우리는 편미분 해둔걸 적분해서

해를 찾아나가면 되는 유형!

 

뭔가 말이 복잡해 보여서 그렇지

미분방정식에서 

굉장히 쉬운 유형에 속한다!

 

우리가 적분을 배울 때,

f'(x)를 적분할 때, 적분상수 C를 고려해주는데

그 상수를 고려해준 이유는 미분할 때,

0이 되어버려서 f'(x)에는 없는거처럼 보이지만

실제 f(x)에는 있었을수도 있어서 고려해주었는데,

 

x로 편미분된 함수를 x로 적분할 때는 

적분상수 뿐만 아니라 y만의 함수를 생각해주어야한다.

x로 편미분할 때, y는 상수 취급해서 다 0 만들어버리니까!!!

 

그 후에 다시 y로 편미분해서 Q(x,y)와 모양을 비교해서

y만의 함수를 찾아주면 문제는 끝난다.

 

복잡해보이는데 실제 문제를 보면

더 간단해서 

한 문제 풀어보자

 

완전형 미분방정식의 대표적인 형태

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

모양을 좀 더 다른 미분방정식처럼 보이게 

주는 경우도 많지만 오늘은 대표적인 형태로 풀어보자.

 

1=2를 만족하니 완전형 미방이 되고

P, Q의 이름은 이제 해를 x, y로 편미분한 놈이 된다!!

 

실제로 문제를 풀다보면 

이렇게 A(y)라고 적지않고

충분히 눈으로 바로 다음 단계로 넘어갈 수 있다!

 

이렇게 A(y)는 y만의 함수 없이 상수 C만 있었다는걸 

알 수 있고

이 과정을 눈으로 해주는게 이상적!!!

 

 

그러면 이제 A(y)자리에 적어주고

초기조건을 이용해서 값까지 찾아주면 된다.

 

완전형 미방도 지금 문제처럼 기본적인 문제부터

완전형이 아닌 미방을 완전형으로 만들어서 푸는 문제,

x, y로 편미분한걸 적분하는 과정이 어마어마하게

더러운 문제 등 어렵게도 많이 출제되니까

 

그건 다음에 살펴보자