이중적분과 이상적분[암기하는 적분형태]

이중적분 범위가 무한대가

끼어있으면 어떨까?

 

그 놈들 중에서도 오늘은

우리가 암기하는 특정형태들을 살펴보자!

 

적분값을 외우면 되긴하는데...

그래도 오늘은 다 증명해보기!!!

만약에 까먹었다?

하나씩 차근차근 적분하자.

 

다 비슷비슷하게 생긴 녀석들

증명은 번호 순서대로 안 하고 

증명하기 편하게

(3)-(4)-(1)-(2)-(6)-(5)

순서로 해보겠슴돠!

 

x^2+y^2이 있는걸 보아하니

원주좌표계를 써야할거 같고!

 

그러기전에 일단 dydx 범위를 보고

xy평면에 영역을 찾아보자!

 

1사분면 전체를 나타내고 있는 영역!

그 영역을 원주좌표계로 표현해보면

r은 무한대까지 쭉 뻗어나가면서

theta는 y축에서 멈추게 pi/2로 제한해주자!

 

그러면 (3)번은 끝.

 

4번은 3번이랑 비슷한데

1사분면에서 끝이아니라

xy평면 전체를 적분 범위로 잡고 있다!

 

이걸 원주좌표계로 바꿔보면

r은 0부터 무한대까지 뻗어나가는건 같지만

theat가 y축에서 멈추는게 아니라

한 바퀴를 다 돌 수 있게 2pi까지로 잡아주기!

 

(4)번은 우리가 적분하는 z라는 함수가 

1사분면 위에서 그려지는 모양과 

나머지 3개의 사분면에서 그려지는 모양이 동일하니까

(3)번값에서 x4 해야지~ 해도 동일하다!

 

(3), (4)번을 먼저한 이유는

이 두 놈을 구해두면

(1), (2)번은 따로 계산할 거 없이 

값을 얻어낼 수 있다!!

 

(3)번의 적분범위가 숫자부터 숫자이므로

dx, dy 적분을 각각 계산해줘도 되니

뜯어보니 각각의 모양이 (1)번 적분 형태와 동일하고

그러면 (1)번 적분의 제곱으로 볼 수 있겠다!

 

(3)번 적분값을 알고 그게 (1)번 적분의 제곱이니

(1)번 적분값을 얻어낼 수 있다!

 

같은 과정으로

(4)번에서 (2)번 적분값을 얻어낼 수 있다!

 

(1), (2)번은 따로 적분할 필요가 없다!

 

(3), (4)번은 까먹어도

적분과정을 보면 알겠지만

어렵지 않게 구할 수 있어서 

그 자리에서 구해도 괜찮지만

 

(1), (2)번만 똑바로 외워서 제곱하나

(3), (4)번만 똑바로 외워서 루트씌우나

둘 다 같으니~

둘 중에 하나라도 잘 외워두자!

 

(6)번은 특이하게 

(1)번 적분에서 출발!

(1)번 적분값을 알고는 있지만

적분자체를 내가 궁금해서 부분적분을 해봤더니

(6)번 적분형태가 나온다!

 

만약에 (1)번 값을 주고

(6)번 물어보면 미적분 문제~

(1)번 값도 안 주고 

물어보면 중적분 문제!

 

(6)번 값 외우는건 외우는건데

(1)번을 부분적분해서 얻어냈다는 거 기억하기!

 

생각보다 이게 뭐지? 할때면

부분적분으로 적분되는 경우가 많으니까!

 

(5)번은 이중적분을 떠나서

우리가 적분할 때 

무리함수가 있으면

그 놈을 치환해보기로 했다!!

 

(5)번도 루트x가 있네? 걔 치환해야지~

하고 치환해봤더니

갑자기 (6)번 형태가 나오고

우리가 (6)번의 적분값을 알고 있으니까

(5)번 적분값도 얻어낼 수 있다.

 

6개의 적분이 서로가 서로의 적분값을

알려주고 있는

사이좋은 녀석들

자주자주 보면서 미리 외워두자!

 

그래도 한 번은 차근차근 증명해봤으면....