쌍곡면, 쌍곡면+구 부피구하기

이중적분, 삼중적분을

이용해서 3차원 상의 영역의

부피를 구할 수 있다!!!

 

간단한 형태면 적분과정도

어렵지 않지만

 

f(x,y,z)=0의 그래프 개형이

이상하다면?

 

그런 놈을 한 놈 살펴보자.

 

구는 참 이쁘게

내가 알고있는 원의 방정식에서 똭

차원이 하나 커지는 느낌으로 삘이 오는데,

 

쌍곡면은

 

수식을 봤을 때,

이게 뭔가싶다!

 

바로 보이지 않는다고 당황하지말고

z에 값을 하나씩 넣어보면

 

z=0(xy평면)에서 원이 하나 그려지고

z=1, z=2 xy평면과 평행한 평면에서도

반지름이 점점 커지면서 원이 그려지고 있다!!!

 

z가 음수일 때에도

z^2에 대입되기 때문에 빨강, 파랑 원의

크기는 동일하게 그려진다!

 

이 쌍곡면과 구가 만나서 생기는

영역의 부피를 구해야한다면?

 

일단 3차원상에 2개의 그래프를 그려야하는데,

복잡하니. 하나씩 그려서 부등식이 나타내는 

영역이 어디인지 생각해보고

한 방에 그려보자.

 

구는 내부인게 똭 보이는데

오른쪽은 여긴가... 저긴가...

헷갈리면 점을 대입해보자.

 

(0,0,0)을 대입하면 지금 부등식이 

성립하지 않게 되고 그러면

부등식이 나타내는 영역은 

그 점을 포함하지 않는 부분이다!!

이렇게 색칠하면 easy합니다.

 

그 둘을 동시에 3차원상에 그리면

공통된 영역이 어딘지 알수있다!

 

그럼 이제 적분 잘 해주면 되는데

쌍곡면에서 주의할 부분이 뭐냐.

 

지금 색칠한 부분은 하나의 z가 만들어내는 영역이 아니다!!!

xy평면에서 쭉 올라와서 뚜껑을 찾아낸다고

생각하면 빨간 원을 기준으로

파란z에서 검정z로 바뀌는 부분이 존재!!

 

지금 주어진 그래프를

위에서 쳐다본, xy평면에서 어떻게 그려질지 그려보면

 

이런 느낌! 느낌이 오나요 여러분?

이게 핵심입니다. 이거 알면 사실 다 푼거다~

 

그러면 이제 이중적분으로 

각각의 영역에서 각각의 z를

적분해주면

 

xy평면에서 원이 그려지니까

원주좌표계로 사뿐하게 계산할 수 있다!

 

적분하는 z가 달라진다!

이 느낌만 잘 기억해두면 되겠다!