미분가능성[도함수의 정의]

도함수 정의를 이용해서

미분값을 찾아주는 유형은 어떤게 있을까?

 

주로 x=0에서 정의되지 않는 함수를

가지고 f'(0)을 구하라고 하면 구하기

or x=a를 기준으로 함수가 변할 때,

f'(a)를 구하라고 하는 문제 유형

 

오늘은 x=a를 기준으로 함수가 달라질때

도함수 정의를 이용해서 푸는

문제를 풀어보자!

 

딱 봐도 손대기 싫어지네

 

문제 짧은것도 살짝 열받아.

 

그래도 x>0, x<0일 때

함수 형태를 잘 보면

자주 보던 놈들인거 같은데...

 

일단 바로 도함수 정의로

들어갈려 하니 감당 안 될듯 하니

좀 더 간단한 연속성을 따지자!

 

연속함수가 될라고 하면

함숫값 = 극한값이고

함숫값은 이쁘게 잘 주고 있는데

x=0을 기준으로 왼쪽 오른쪽 함수가 달라지니

좌극한, 우극한이 같아지게 해야하는 문제구나~

 

이 극한값을 구할 때

두 함수다 익숙한 놈이니까

후딱 처리할 수 있게 해보자.

 

얘를 어디서 자주 봤냐~

아래 초록색 문제에서 많이 봤죠!

아래 초록색 눈으로 풀 수 있는데...

한 번 해봅시다!

 

절댓값이 있는 형태는

|x|sinx, |x|cosx 이 두 놈이

어떤 차이점에 의해서 

x=0에서 미분이 가능하고!

미분이 불가능하고! 했는지를

생각해주면 생각보다 쉽게 처리가능!

 

얘도 우리 아주

주구장창 봐오던 놈인거 알죠?

 

그러면 함수가 연속이다!를

이용해서 알아낼 수 있는 값은

b랑 c!

이제 a는 우리가 미분값을 찾는과정에서

알아낼 수 있겠다~~

 

도함수 정의 외웠죠?

그러면 사실 여러분 극한문제입니다.

극한 잘 찾아주면 되요.

 

이번 문제는 앞이랑 극한을 찾는 함수의 모양은

달라졌지만 좌극한, 우극한으로 나눠서

찾는 이유는 동일하죠?

 

하나씩 해봅시다.

 

이게 진짜 앞에 초록색으로 적었던

그 문제 느낌이죠? 후다닥 해결하고 넘어갑시다.

 

진짜 어려운건 이 다음이라

 

첫번째 0/0을 우리가 e의 정의를 알기 때문에

빠르게 해결하고 로피탈을 쓰면 되겠는데

변수의 변수승 미분을 해줘야하니까

모양을 좀 바꿔주고

미분을 해주면 됩니다.

[   ] 이 부분은 지수자리를 미분해준거죠.

 

근데 여기서 마지막 줄을 로피탈을 이용해서

구하려고 하면 문제가 진짜 답도 없어지는데,

 

사실 미분하기 위해서 모양을 바꾼거고

원래 모양은 이미 알고 있죠? 극한값이 e라는걸!

 

극한에서 진짜 더러울 때, 자주 써먹는 개념이 뭐냐~

f(x)g(x)의 극한값을 찾아줄 때,

각각의 함수가 수렴한다면 각각 나눠서 극한값을 

구한 다음에 곱해줘도 된다~

 

지금 f(x) 자리의 극한값을 알고 있으니

곱하기를 각각으로 쪼개서 구해보자.

 

항상 한 놈이 발산이 나올까... 걱정이 되지만

그럴 일 없을거다~

 

그러면 해결! a, b, c 다 찾았다.

 

사실 100분짜리 시험지면

푸는게 맞다고 생각하지만

여러분 이런 문제

최대한 제꾸는게 좋겠죠?

 

공부할 때 이 문제가 가지는 의미는

중간중간 보면 극한에서 

우리가 암기해야하는 형태가 많았고

그걸 잘 써먹었는지

 

그리고 가장 복잡했던 마지막 과정을

충분히 다른 학교가 똑같이 출제할 수 있기때문에

봐두는데 중점을 둡시다!!